Question

 已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5,过点C的动直线与椭圆相交于    A，B两点.

    ⑴若线段AB中点的横坐标是-，求直线AB的方程；

    ⑵在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，    请说明理由.

Answer

 解  （1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x+1),

将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,

消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.                   …………2 分 

设A（x1,y1）,B(x2,y2),

①

②

则                       …………4分

由线段AB中点的横坐标是-，

得=-=-,解得k=±，适合①.          ……………6分

所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0.………………7分

(2)假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数.

（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知

x1+x2=-,x1x2=.              ③

所以=（x1-m）(x2-m)+y1y2

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)

=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.                …………9分

将③代入，整理得

=+m2

=+m2

=m2+2m--.       ………………11分

注意到是与k无关的常数，从而有

6m+14=0，m=-，此时=.        ………………12分

（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，

此时点A，B的坐标分别为

、，

当m=-时，亦有=.

综上，在x轴上存在定点M，使为常数.  …………14分