Question

 某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥吨数不少于钾肥吨数，且不多于钾肥吨数的1.5倍.

（1）   设买钾肥吨，买氮肥吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥各买多少才行？

（2）   设点在（1）中的可行域内，求的取值范围；   

（3）   已知，O是原点， 在（1）中的可行域内，求的取值范围.

Answer

 【解析】
（1）设肥料总数为，      ……1分

由题意得约束条件

，即，  ……3分

画出可行域（如图）                      ……4分

目标函数：，即，表示斜率为，轴上截距为的平行直线系.

当直线过点N时，最大.                

联立方程，解得 ……5分

此时.        ……6分

购买钾肥70吨，氮肥105吨时，两种肥料的总数量最大为175吨.……

（2）表示（1）中可行域内动点与定点连线的斜率.  ……7分

联立方程，解得        

，，                  ……9分

                                      ……10分   

（3），，为的夹角

.  有图可知：                                           ……11分

当点在线段时，最大为，此时s最大值为；          ……12分

当点在线段时，最小为，此时s最小值为.        ……13分

                                                 ……14分

另【解析】
，，代入可得