Question

已知函数，给出下列关于的性质：

①是周期函数，3是它的一个周期；

②是偶函数；

③方程有有理根；

④方程与方程的解集相同；

⑤是周期函数，是它的一个周期．

其中正确的个数为（　　）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

Answer

A

【解析】

本题综合的考查了函数的性质，可以根据周期函数、函数奇偶性结合方程思想，特殊值代入验证法，对五个结论逐一进行判断，最后得到结论．

当T=3，则当x为有理数时，x+3也为有理数，则f(x+3)=f(x)；

则当x为有无理数时，x+3也为无理数，则f(x+3)=f(x)；

故T为函数的周期，即f(x)是周期函数，3是它的一个周期，

故①正确；

若x为有理数，则−x也为有理数，则f(−x)=f(x)；

若x为无理数，则−x也为无理数，则f(−x)=f(x)；

故f(x)是偶函数，故②正确；

存在有理数0，使得f(x)=cosx=0成立，

故方程f(x)=cosx有有理根，即③正确；

方程f[f(x)]=f(x)可等价变形为f(x)=1，

故方程f[f(x)]=f(x)与方程f(x)=1的解集相同，

故④正确；

当T=是它的一个周期，则当x为有理数时，x+为无理数，

则f(x+)，则不是周期函数，

故⑤不正确；

综上，正确的个数为4个.

故选：A.