Question

如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形， ,.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】

（1）取AD中点O，连结OP，OB，可得OP，OP⊥AD，OB⊥AD，且OB．可得OB2+OP2＝9＝PB2，从而OP⊥面ABCD，即面PAD⊥面ABCD．

（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA∥面BDQ时，PA∥EQ，所以Q是BC中点．由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量求解．

【解析】
（1）取AD中点O，连结OP，OB，

∵△PAD是边长为2的正三角形，∴OP，OP⊥AD，

又AB＝AD，∴OB⊥AD，且OB．

于是OB2+OP2＝9＝PB2，从而OP⊥OB．

所以OP⊥面ABCD，而OP⊂面PAD，所以面PAD⊥面ABCD．

（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA∥面BDQ时，PA∥EQ，所以Q是BC中点．

由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则B（0，，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），Q（﹣1，），

，．

设面BDQ的法向量为，由，取．

面ABD的法向量是，∴cos．

∵二面角A﹣BD﹣Q是钝角，∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值为．