Question

在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴的交点都在圆上．

（1）求圆的方程；

（2）直线交圆于、两点，且，求．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）求出二次函数的图象与坐标轴的三个交点坐标，可知圆心在直线上，可设圆心坐标为，利用圆心到二次函数与轴的交点以及与轴的一个交点的距离相等列等式求出的值，进而可得出圆的方程；

（2）设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算结合条件求出的值，由此可得出直线的方程，并计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可计算出.

（1）令，得．所以抛物线与轴交点为．

令，得，解得.

所以抛物线与轴的交点为，．

设圆心坐标为，则有，解得．

所以圆的半径，所以圆的方程为；

（2）设，，

联立，消去并整理得．

所以，，

，

由题设可得，解得，所以，即．

又圆心到直线的距离，所以．