Question

已知函数，，.

（1）若曲线在处的切线与曲线相切，求的值；

（2）当时，函数的图象恒在函数的图象的下方，求的取值范围；

（3）若函数恰有2个不相等的零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）先写出曲线在处的切线方程，再设切线与相切的切点为，，，，可解出．

（2）由题知任意，，恒成立，恒成立，可得出，令，，，只需小于的最小值即可．

（3），分五种情况当，，，，时，讨论函数单调性，分析的零点，进而得出的取值范围．

【解析】
（1），

函数的导数为，

函数在处的切线的斜率为，

函数在处的切线的方程为.

由函数在处的切线与函数相切，

联立，得.

所以，得.

（2）设函数

，

所以.

①当时，，，函数在上单调递增.

由题意，

所以.

②当时，当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增.

由题意，

即.

又因为，不成立.

综上所述，的取值范围为.

（3）.

①当时，若，，单调递增；

若，，单调递减；

若，，单调递增.

所以的极大值为

，

所以函数的图象与轴至多有一个交点.

④当时，若，，单调递减；

若，，单调递增.

所以.

（1）当，即时，函数的图象与轴至多有一个交点.

（2）当，即时，

.

令，，，

，

，

所以当时，，

所以，

所以存在，.

，

所以存在，.

（3）当时，只有一个零点，

综上所述，实数的取值范围为.