Question

已知正项数列的前项和为，，.令，设的前项和为，则在中有理数的个数为(  ）

A.7 B.8 C.9 D.10

Answer

C

【解析】

首先利用递推式可得，利用等差数列的通项公式可得，代入可得，利用“裂项求和”可得：的前项和为，根据必定是平方数即可得出.

∵①，∴②，

②①，得，

，.

又∵为正项数列，∴，即.

在中，令，可得.

∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列.

∴，

∴

，

∴，

∴中有理数的个数为9.

故选：C.