Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若，试讨论函数的零点个数.

Answer

（1）的增区间为，减区间为；函数在处取的极小值，无极大值；（2）见解析.

【解析】

（1）求出导函数，由确定增区间，确定减区间，得极值；

（2）求出导函数，分类讨论，利用导数研究函数的单调性与极值，根据零点存在定理得零点个数．

（1）根据，

令，解得，当变化时，的变化情况如下表：

x

-1

<0

0

>0

递减

递增

∴函数的增区间为，减区间为；

函数在处取的极小值，无极大值.

（2）由，则，

当时，，易知函数只有一个零点，

当时，在上，单调递减；在上，单调递增，又，当时，，

所以函数有两个零点，

当时，在和上，单调递增，在上，单调递减.又，

且当时，所以函数有一个零点