Question

已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：（n∈N₊，n＞1）．

Answer

（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），．能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），由此能确定实数k的取值范围．
（3）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能够证明（n∈N+，n＞1）．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．
当k≤0时，，
f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k＞0时，若x∈时，有，
若x∈时，有，
则f（x）在（0，）上是增函数，在（）上是减函数．
（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
又由（1）知f（x）的最大值为f（），要使f（x）≤0恒成立，
则f（）≤0即可．，即-lnk≤0，得k≥1．
（3）由（2）知，当k=1时，
有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，
即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，
令x=n2，则lnn2＜n2-1，
即2lnn＜（n-1）（n+1），从而，
∴（n∈N+，n＞1）．