Question

三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若PA=，PC与侧面APB所成角的余弦值为，PB与底面ABC成60°角，求二面角B-PC-A的大小．

Answer

（1）由PA⊥面ABC，知PA⊥BC，由AB⊥BC，且PA∩AB=A，知BC⊥面PAB，由此能够证明面PAB⊥面PBC．
（2）法一：过A作AE⊥PB于E，过E作EF⊥PC于F，连接AF，得到∠EFA为B-PC-A的二面角的平面角．由此能求出二面角B-PC-A的大小．
法二：由AB=，BC=1，以BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-A的大小．
（1）证明：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，且PA∩AB=A，
∴BC⊥面PAB
而BC⊂面PBC中，∴面PAB⊥面PBC．…（5分）
（2）解法一：过A作AE⊥PB于E，过E作EF⊥PC于F，连接AF，如图所示
则∠EFA为B-PC-A的二面角的平面角  …（8分）
由PA=，在Rt△PBC中，cos∠COB=．
Rt△PAB中，∠PBA=60°．
∴AB=，PB=2，PC=3
∴AE==
同理：AF=    …（10分）
∴sin∠EFA=，…（11分）
∴∠EFA=60．…（12分）
解法二：向量法：由题可知：AB=，BC=1，
建立如图所示的空间直角坐标系…（7分）
B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，，0），P（0，，），
假设平面BPC的法向量为=（x1，y1，z1），
∴
取z1=可得平面BPC的法向量为=（0，-3，）…（9分）
同理PCA的法向量为=（2，-，0）…（11分）
∴cos＜，＞==，∴所求的角为60°．…（12分）