Question

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由{an}是公比大于1的等比数列，S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，我们不难构造方程组，解方程组即可求出相关基本量，进而给出数列{an}的通项公式．
（2）由bn=lna3n+1，n=1，2，…，我们易给出数列{bn}的通项公式，分析后可得：数列{bn}是一个等差数列，代入等差数列前n项和公式即可求出Tn
【解析】
（1）由已知得
解得a2=2．
设数列{an}的公比为q，由a2=2，
可得．
又S3=7，可知，
即2q2-5q+2=0，
解得
由题意得q＞1，
∴q=2
∴a1=1．故数列{an}的通项为an=2n-1．
（2）由于bn=lna3n+1，n=1，2，
由（1）得a3n+1=23n
∴bn=ln23n=3nln2又bn+1-bn=3ln2n
∴{bn}是等差数列．
∴Tn=b1+b2++bn
=
=
=．
故．