Question

（1）已知点的极坐标分别为（3，），（4，），求它们的直角坐标；已知点的直角坐标分别为（3，），（0，3），求它们的极坐标
（2）把下面的直角坐标方程化成极坐标方程；极坐标方程转化成直角坐标方程
①2x-3y-1=0
②ρ=2cosθ-4sinθ

Answer

（1）根据公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，即可算出（3，）、（4，）两点的直角坐标形式．利用ρ2=x2+y2算出极径ρ，由tanθ=可得极角θ的值，因此即可得到（3，）、（0，3）的极坐标形式；
（2）①直接由公式x=ρcosθ、y=ρsinθ代入，即可得到2x-3y-1=0的极坐标方程形式；
②在方程ρ=2cosθ-4sinθ的两边都乘以ρ，再用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2化简整理，即可得到曲线ρ=2cosθ-4sinθ的直角坐标方程．
【解析】
（1）设点P（3，）的直角坐标为（x1，y1），
∵|OP|=3，，
∴x1=3cos=，y1=3sin=，可得点（3，）的直角坐标为，
同理可得点Q（4，）的直角坐标为（0，4），
设M（3，）的极坐标为（ρ1，θ1），可得
==2，tanθ1=得θ1=
∴M（3，）的极坐标为，
同理可得N（0，3）的极坐标为
（2）①∵曲线的直角坐标方程为2x-3y-1=0，
∴将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得2ρcosθ-3ρsinθ-1=0，即为曲线的极坐标方程；
②∵曲线的极方程为ρ=2cosθ-4sinθ
∴两边都乘以ρ，得ρ2=2ρcosθ-4ρsinθ
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2
∴x2+y2=2x-4y，化简整理得（x-1）2+（y+2）2=5，即为曲线的直角坐标方程．