Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+4x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在区间[-3，3]上的最小值与最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）a=1代入f（x），对f（x）进行求导，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的单调性及最值问题；
（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，说明f′（x）≥0在[-1，1]上恒大于等于0，求出实数a的取值范围；
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，，f′（x）=-2x2+2x+4，
若f′（x）=0，则x=-1或x=2．                                 （2分）
在区间[-3，3]上，当x变化时f'（x）、f（x）的情况是：（5分）

x -3 （-3，-1） -1 （-1，2） 2 （2，3） 3
f′（x） - + -
f（x） 15 μ 极小值 κ 极大值 μ 3

∴，f（x）max=f（-3）=15（7分）
（Ⅱ）f′（x）=-2x2+2ax+4（8分）
∵函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴当x∈[-1，1]时，f′（x）≥0恒成立．（10分）
∴，（13分）
∴-1≤a≤1．                                                 （15分）