Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体，四棱锥P-A₁B₁C₁D₁中，P∈平面DCC₁D₁，PC₁=PD₁=．
（Ⅰ）求证：PA₁∥平面ADC₁D₁；
（Ⅱ）求直线PA₁与ADD₁A₁所成角的正切值．

Answer

（Ⅰ）取D1C1的中点H，连接PH，AH．可以证得四边形PA1AH为平行四边形，即PA1∥AH，进而由线面平行的判定定理可得PA1∥平面ABC1D1．
（Ⅱ）由PA1∥AH，可得直线PA1与平面ADD1A1所成角等于直线AH与平面ADD1A1所成角，即∠HAD1就是直线AH与平面ADD1A1所成角，解Rt△HAD1，可得直线PA1与ADD1A1所成角的正切值．
证明：（Ⅰ）取D1C1的中点H，连接PH，AH．
∵，D1C1=1，P∈平面DCC1D1，
∴，
∴，（2分）
∴PH∥D1D∥A1A，PH=A1A，
∴四边形PA1AH为平行四边形，
∴PA1∥AH，（4分）
又AH⊂平面ABC1D1，PA1⊄平面ABC1D1，
∴PA1∥平面ABC1D1．  （7分）
（Ⅱ）∵PA1∥AH，
∴直线PA1与平面ADD1A1所成角等于直线AH与平面ADD1A1所成角．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，显然HD1⊥平面ADD1A1，
∴∠HAD1就是直线AH与平面ADD1A1所成角．                      （10分）
在Rt△HAD1中，，，
∴直线PA1与平面ADD1A1所成角的正切值为．                    （14分）