Question

已知函数f（x）=sin2x+2cos²x．
（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，f（c）=3，c=1，ab=2，求a，b的值．

Answer

（Ⅰ）利用三角函数间的关系将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+）+1，由x∈[0，]；可求得2x+∈[，]，从而可求得函数f（x）的值域．
（Ⅱ）由f（C）=3可求得C，利用余弦定理可求得a2+b2=7，通过解方程可求得a、b的值．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1（2分）
=2sin（2x+）+1（4分）
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[-，1]，（6分）
∴函数f（x）的值域为[0，3]．                                        （7分）
（Ⅱ）∵f（C）=3，
∴2sin（2C+）+1=3，即sin（2C+）=1．
∵0＜C＜π，
∴2C+∈[，]，
∴2C+=，
∴C=．              （10分）
又c2=a2+b2-2abcosC，c=1，ab=2，cosC=，
∴a2+b2=7．（12分）
由，得 或  ．                          （14分）