Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为侧面ABB₁A₁所在平面上的一个动点，且M到平面ADD₁A₁的距离是M到直线BC距离的2倍，则动点M的轨迹为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆

Answer

作MN⊥AA1于N，连接MB，根据面面垂直、线面垂直的性质，证出MN、MB分别是M到平面ADD1A1、直线BC的距离，可得MN=2MB．然后在平面AA1B1B内利用圆锥曲线的统一定义，即可得到动点M的轨迹是以B为一个焦点、AA1为一条准线的椭圆．
【解析】
平面ABB1A1内作MN⊥AA1于N，连接MB
∵平面ABB1A1⊥平面AA1D1D，平面ABB1A1∩平面AA1D1D=AA1，
∴MN⊥平面AA1D1D，可得MN就是M到平面ADD1A1的距离，
∵BC⊥平面ABB1A1，MB⊂平面ABB1A1，
∴MB⊥BC，即MB就是M到BC的距离，
∵M到平面ADD1A1的距离是M到直线BC距离的2倍，即MN=2MB
∴根据圆锥曲线的统一定义，可得动点M的轨迹是以B为一个焦点、AA1为一条
准线的曲线，其离心率e==．
因此，动点M的轨迹是以B为一个焦点、AA1为一条准线的椭圆．
故选：A