Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA₁上是否存在点P，使得CP⊥面BDC₁？并证明你的结论．

Answer

（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得OD∥AB1，进而由线面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在点P，使得CP⊥面BDC1，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P点不存在．
证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD
∵BCC1B1是矩形，
∴O是B1C的中点．
又D是AC的中点，
∴OD∥AB1．（2分）
∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，
∴AB1∥面BDC1．（4分）
【解析】
（II）如图，建立空间直角坐标系，则
C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）（5分）
设=（x，y，z）是面BDC1的一个法向量，则

即，令x=1
则=（1，，）．（6分）
易知=（0，3，0）是面ABC的一个法向量．
∴cos＜，＞=．（8分）
∴二面角C1-BD-C的余弦值为．（9分）
（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．
则，即
∴方程组无解．∴假设不成立．
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1．（14分）