Question

已知圆C的方程为x²+y²-6x-2y+5=0，过点P（2，0）的动直线l与圆C交于P₁，P₂两点，过点P₁，P₂分别作圆C的切线l₁，l₂，设l₁与l₂交点为M，求证：点M在一条定直线上，并求出这条定直线的方程．

Answer

设P1（x1，y1），P2（x2，y2），M（x，y），由切线的性质，可得MP1⊥CP1，进而得到（x-3）（ x1-3）+（y-1）（y1-1）=5，由MP2⊥CP2，可得（x-3）（x2-3）+（y-1）（y2-1）=5，即过点P1，P2的直线方程为（x-3）（x-3）+（y-1）（y-1）=5，将点P（2，0）代入化简可得点M所在定直线的方程．
【解析】
⊙C：（x-3）2+（y-1）2=5的圆心C为（3，1）．…（1分）
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），M（x，y），…（2分）
因为P1M与圆C相切，所以MP1⊥CP1．  …（4分）
所以（x1-x）（x1-3）+（y1-y）（y1-1）=0，
即（x1-3）2+（3-x）（x1-3）+（y1-1）2+（1-y）（y1-1）=0，…（6分）
因为（x1-3）2+（y1-1）2=5，
所以（x-3）（ x1-3）+（y-1）（y1-1）=5，…（8分）
同理（x-3）（x2-3）+（y-1）（y2-1）=5．
所以过点P1，P2的直线方程为（x-3）（x-3）+（y-1）（y-1）=5．…（10分）
因直线P1P2过点（2，0）．
所以代入得（2-3）（x-3）+（0-1）（y-1）=5，
即x+y+1=0．
所以点M恒在直线x+y+1=0上．…（12分）