Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AC=BC=2，AA₁=3，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）求点A₁到面BDC₁的距离．

Answer

（Ⅰ）直接利用直线与平面平行的判定定理证明AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）通过等体积的方法，求解点A1到面BDC1的距离即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C
的中点，∵D为AC中点∴OD∥A B1
又∵A B1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1
∴A B1∥平面BDC1-----------------------（6分）
（Ⅱ）在直角三角形BDC中过点C作BD的垂线，垂足为E，连接C1E．
∵AA1⊥平面ABC，AA1∥CC1
∴CC1⊥平面ABC   又∵BD⊂平面ABC∴CC1⊥BD
∴BD⊥平面C1CE∴BD⊥C1E
在Rt△CBD中，BD==，CE==
在Rt△C1CE中，C1E===---------（10分）
∵
设点A1到面BDC1的距离为h，则有
所以h==---------（12分）