Question

已知：函数f（x）=x-，
（1）求：函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer

（1）由函数的解析式可知，分式的分母不为0，可得函数的定义域．
（2）利用奇偶函数的定义，先判断定义域是否关于原点对称，然后探讨f（-x）与f（x）关系可得函数的奇偶性．
（3）利用函数单调性的定义，然后判断f（x1）-f（x2）的符号，可得其单调性．
【解析】
（1）定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）定义域关于原点对称，f（-x）=（-x）-，
则：函数f（x）是奇函数；
（3）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，

∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，
∵x1，x2∈（0，+∞），∴，
∴，即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．