Question

设，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，最后用直线的斜截式表示即可；
（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立等价于：[g（x1）-g（x2）]max≥M，先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大小从而确定出最大值和最小值，从而求出[g（x1）-g（x2）]max，求出M的范围；
（3）当时，恒成立等价于a≥x-x2lnx恒成立，令h（x）=x-x2lnx，利用导数研究h（x）的最大值即可求出参数a的范围．
【解析】
（1）当a=2时，，，f（1）=2，f'（1）=-1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-x+3；（4分）
（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立
等价于：[g（x1）-g（x2）]max≥M，
考察g（x）=x3-x2-3，，

由上表可知：，
，
所以满足条件的最大整数M=4；（8分）
（3）当时，恒成立
等价于a≥x-x2lnx恒成立，
记h（x）=x-x2lnx，h'（x）=1-2xlnx-x，h'（1）=0．
记m（x）=1-2xlnx-x，m'（x）=-3-2lnx，
由于，m'（x）=-3-2lnx＜0，
所以m（x）=h'（x）=1-2xlnx-x在上递减，
当时，h'（x）＞0，x∈（1，2]时，h'（x）＜0，
即函数h（x）=x-x2lnx在区间上递增，在区间（1，2]上递减，
所以h（x）max=h（1）=1，所以a≥1．（14分）