Question

已知锐角三角形ABC的三个内角为A，B，C，其对应边分别为a，b，c，b=2，向量=（ cosB，cosC），=（c-a，b），且•=acosB．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）求a+c的取值范围．

Answer

（I）由平面向量的基本定理及正弦定理的推论（边角互化），可将•=acosB，转化为sinCcosB-sinAcosB+sinBcosC=sinAcosB，利用诱导公式及两角和的正弦公式，可得cosB=，进而结合B为三角形内角得到角B的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式，可得a+c≤4，又由三角形两边之和大于第三边可得a+c＞2，综合可得a+c的取值范围．
【解析】
（I）∵=（ cosB，cosC），=（c-a，b），
∴•=（c-a）cosB+bcosC=acosB．
即sinCcosB-sinAcosB+sinBcosC=sinAcosB
即sin（B+C）=2sinAcosB
即sinA=2sinAcosB
即cosB=
即B=
（II）由b=2，结合余弦定理可得
b2=a2+c2-2accosB
即12=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-3（）2=（a+c）2，
故（a+c）2≤48
故a+c≤4
又由三角形两边之和大于第三边可得a+c＞2
故a+c的取值范围为（2，4]