Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁ C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=2，AC=2，E，F分别是A₁B，BC的中点．
（I）证明：EF∥平面A A_lC_lC；
（II）证明：AE⊥平面BEC．

Answer

（I）连接A1C，在△BA1C中利用中位线定理，证出EF∥A1C，再结合线面平行的判定定理即可证出EF∥平面A AlClC；
（II）在△ABC中利用勾股定理的逆定理证出AB⊥BC，再由AA1⊥平面ABC证出AA1⊥BC，可得BC⊥平面AA1B1B．而AE⊂平面AA1B1B，所以AE⊥BC，等腰△AA1B中运用“三线合一”证出AE⊥A1B，最后利用线面垂直的判定定理，可得AE⊥平面BEC．
【解析】
（I）连接A1C，则
∵△BA1C中，E，F分别是A1B，BC的中点．
∴EF∥A1C
∵EF⊄平面A AlClC，A1C⊂平面A AlClC，
∴EF∥平面A AlClC；
（II）∵△ABC中，AB=BC=2，AC=2，
∴AB2+BC2=8=AC2，可得AB⊥BC
∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC
∵AB、AA1是平面AA1B1B内的相交直线，∴BC⊥平面AA1B1B
∵AE⊂平面AA1B1B，∴AE⊥BC
∵△AA1B中，AB=AA1=2，∴AE⊥A1B
∵A1B、BC是平面A1BC内的相交直线，
∴AE⊥平面A1BC，即AE⊥平面BEC．