Question

设函数．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）设，在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）当a≠0时，求f（x）的单调区间．

Answer

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，可求得f′（x）=，将f（x），f'（x）随x变化情况列表即可求得f（x）的极值；
（2）由题意，g（x）=（2-a）lnx+2ax，在[1，+∞）上单调递增⇔g′（x）=+2a≥0在[1，+∞）上恒成立，设h（x）=2ax+2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，对a分a=0，a＞0，a＜0讨论即可求得答案；
（3）由题意得，f′（x）=，令f'（x）=0得x1=-，x2=，对a分a＞0，a＜0（对a再分a＜-2，a=-2，-2＜a＜0）讨论即可求得答案．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
当a=0时，f（x）=2lnx+，
∴f′（x）=-=，…（2分）
由f'（x）=0得x=，
于是，f（x），f'（x）随x变化如下表：

x （0，） （，+∞）
f（x） - +
f'（x） 减函数 极小值 增函数

故，f（x）极小值=f（）=2-ln2，没有极大值．…（4分）
（2）由题意，g（x）=（2-a）lnx+2ax，在[1，+∞）上单调递增，
∴g′（x）=+2a≥0在[1，+∞）上恒成立，
设h（x）=2ax+2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，…（5分）
当a=0时，2≥0恒成立，符合题意．…（6分）
当a＞0时，h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）的最小值为h（1）=2a+2-a≥0，得a≥-2，所以a＞0…（7分）
当a＜0时，h（x）在[1，+∞）上单调递减，不合题意
所以a≥0…（9分）
（3）由题意得，f′（x）=，
令f'（x）=0得x1=-，x2=，…（10分）
若a＞0，由f'（x）≤0得x∈（0，]；由f'（x）≥0得x∈[，+∞）；…（11分）
若a＜0，①当a＜-2时，0＜-＜，x∈（0，-]或x∈[，+∞），f'（x）≤0；x∈[-，]，f'（x）≥0，
②当a=-2时，f'（x）≤0；
③当-2＜a＜0时，-＞，x∈（0，]或x∈[-，+∞），f'（x）≤0；x∈[，-]，f'（x）≥0．
综上，当a＞0时，函数的单调递减区间为（0，]，单调递增区间为[，+∞）；
当a＜-2时，函数的单调递减区间为（0，-]，[，+∞），单调递增区间为[-，]；
当a=-2时，函数的单调递减区间为（0，+∞）；
当-2＜a＜0时，函数的单调递减区间为（0，]，[-，+∞），单调递增区间为[，-]．…（14分）