Question

如图，PC⊥平面ABC，∠ACB=90°，D为AB中点，

AC=BC=PC=2．

(Ⅰ)求证：AB⊥平面PCD；

(Ⅱ)求异面直线PD与BC所成角的大小；

(Ⅲ)设M为线段PA上的点，且AP=4AM，求点A到平面BCM的距离．

Answer

(Ⅰ)证明见解析。

(Ⅱ) arccos

(Ⅲ)

【解析】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，异面直线所成的角，点面距离等基础知识；考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．

 (Ⅰ)因为PC⊥平面ABC，AB平面ABC，所以PC⊥AB．………………………2分

          △ABC中，AC=BC，且D为AB中点，所以CD⊥AB．

          又PC∩CD=C，所以AB⊥平面PCD．…………………………………………4分

 (Ⅱ)如图，取AC中点E，连结DE、PE，则DE∥BC，

           所以∠PDE(或其补角)为异面直线PD与BC所成的角．…………………5分

因为BC∥DE，AC⊥BC，所以AC⊥DE；

又PC⊥平面ABC，DE平面ABC，所以PC⊥DE，

因为AC∩PC=C，所以DE⊥平面PAC，

因为PEC平面PAC，所以DE⊥PE．………6分

在Rt△ABC中，因为AC=BC=2，所以AB=2

在Rt△PCD中，因为PC=2，CD=AB=，

所以PD=．

在Rt△PDE中，因为DE=BC=1．所以cos∠PDE=

即异面直线PD与BC所成的角为arccos.……………………………8分

(Ⅲ)因为BC⊥AC，BC⊥PC，所以BC⊥平面PAC，所以平面PCM⊥平面BCM．

           过点A作AN⊥CM交CM于N，则AN⊥平面BCM．…………………10分

在Rt△PAC中，AC=PC=2，所以AP=2，又AP=4AM，所以AM=

△ACM中，∠MAC=45°，所以CM==

过M作MG⊥AC交AC于G，MG=AMsin45°=，

由MG·AC=AN·CM，得AN=．

所以点A到平面BCM的距离为．…………………………………12分