Question

（本题14分）在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．

（I）求证：；

（II）求与平面所成的角．

Answer

（I）

（II）直线与平面所成的角是．

【解析】方法一：

（I）证明：因为，是的中点，

所以．

又平面，

所以．

（II）【解析】
过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，．

是直线和平面所成的角．

因为平面，

所以，

又因为平面，

所以，

则平面，因此．

设，，

在直角梯形中，

，是的中点，

所以，，，

得是直角三角形，其中，

所以．

在中，，

所以，

故与平面所成的角是．

方法二：

如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，．

（I）证明：因为，，

所以，

故．

（II）【解析】
设向量与平面垂直，则，，

即，．

因为，，

所以，，

即，

，

直线与平面所成的角是与夹角的余角，

所以，

因此直线与平面所成的角是．