Question

如图，抛物线y=－x²+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P₁,P₂,…,P_n－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q₁，Q₂，…，Q_n－1，从而得到n－1个直角三角形△Q₁OP₁, △Q₂P₁P₂,…, △Q_n－1P_n－1P_n－1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为                  .

             

Answer

【解析】如图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A(1，0)，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－2Pn－1, ∴ ，，，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为.

整理得=。