Question

    已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点．

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

    （Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点．

    （ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小;

    （ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且．

由题意可知：，．         ………2分

所以．           

所以，椭圆的标准方程为．  ………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．设．

（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为．

由 解得：或

即（不妨设点在轴上方）．…………5分

则直线的斜率，直线的斜率．

因为 ，

所以 ．

所以 ．                …………6分

（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为．

由消去得：．

因为 点在椭圆的内部，显然．

               ……………8分

因为 ，，，

所以

        ．

所以 ．                         

所以 为直角三角形．           ………………11分

（III）假设存在直线使得为等腰三角形，则．

取的中点，连接，则．

记点为．

另一方面，点的横坐标，

所以 点的纵坐标．

所以

．

所以 与不垂直，矛盾．

所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形．…………13分