Question

    如图所示,三棱柱中,,平面平面,又,与相交于点．

    （Ⅰ）求证:平面;

    （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值;

Answer

 【解】（Ⅰ）由题知,,

所以为正三角形,所以,………………1分

又因为,且

所以为正三角形,………………………2分

又平行四边形的对角线相交于点,所以为的中点,

所以…………………………3分

又平面平面,且平面平面,…………4分

且平面………………………………5分

所以平面…………………………6分

（Ⅱ）〖解法一〗连结交于,取中点,连结,,

         则,又平面

         所以平面,,……7分

         所以直线与平面所成角为．…………8分

而在等边中,,所以,,

同理可知,,

在中,………………10分

所以中,,．

所以与平面所成角的正弦值为．……………12分

〖解法二〗由于,平面,所以平面,……7分

     所以点到平面的距离即点到平面的距离,

     由平面,所以到平面的距离即,…………………8分

     也所以与平面所成角的正弦值为,…………………9分

而在等边中,,所以,

同理可知,,所以,………10分

又易证平面,所以,

也所以,………………………11分

所以

即与平面所成角的正弦值为．………………………12分