Question

 如图，在四棱锥P-ABCD中，

底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，

平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是

棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=.

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）设PM=t MC，若二面角M-BQ-C的平面角的

大小为30°，试确定t的值.

Answer

 （I）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．    

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD  且平面PAD∩平面ABCD=AD， 

∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．   ……………………7分

另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，  ∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°．  ∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD． 

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． ∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…………7分

（II）∵PA=PD，Q为AD的中点，  ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为；

，，

，．

设，则，，

∵，

∴ ，    ∴                  …………………………11分

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量为．       

∵二面角M-BQ-C为30°，，

∴ ．                                           …………………………15分