如图，四边形中（图1），是的中点，，，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）...

6ec8aac122bd4f6e 如图，四边形中（图1），是的中点，，，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求点到平面的距离.

【解析】（1）如图取BD中点M，连接AM，ME。因 ……1分因，满足：, 所以是BC为斜边的直角三角形，, 因是的中点,所以ME为的中位线， , …… 2分是二面角的平面角= ……3分 ,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线平面AEM ……4分因,为等腰直角三角形， …… 6分 …… 7分（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，…….. 8分则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),， ,D,C …… 9分设异面直线与所成角为, 则 ……10分 ……11分由可知满足，是平面ACD的一个法向量, …… 12分记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d 则 ……13分所以d …… 14分（2），(3)解法二：取AD中点N，连接MN,则MN是的中位线,MN//AB,又ME//CD 所以直线与所成角为等于MN与ME所成的角，即或其补角中较小之一 …… 8分，N为在斜边中点所以有NE=,MN=,ME=, …….9分 = ……10分 (3)记点到平面的距离d，则三棱锥B-ACD的体积, ……11分又由（1）知AE是A-BCD的高、 …..12分 E为BC中点，AEBC 又, , ……13分到平面的距离 ……14分解法三：(1) 因，满足：, , 1分如图，以D为原点DB为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系， …….. 2分则条件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，, A(a,b,c) (由图知a>0,b>0,c>0) …….3分得 ….. 4分平面BCD的法向量可取, ，所以平面ABD的一个法向量为 5分则锐二面角的余弦值 …..6分从而有, 7分所以平面 9分 (2)由（1），D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，设异面直线与所成角为,则 ……10分 ……11分 (3)由可知满足，是平面ACD的一个法向量, …… 12分记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d 则 ……13分所以d …… 14分

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