Question

如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD上某点分别修建与OA，OB平行的栈桥MG，MK，且以MG，MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD的方程是，曲线EF的方程是，设点的坐标为．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）

（1）求三角形观光平台MGK面积的最小值；

（2）若要使的面积不小于320平方米，求的范围．

 

Answer

 （1）由题意，得，，

又因为在线段CD：上，

所以，

……………4分

由，得，当且仅当，时等号成立.

……………………………………6分

令，则，.

又，故在上单调递减，

（注意：若在上单调递减未证明扣1分）

所以，此时，.

所以三角形MGK面积的最小值为225平方米. ……………………………………10分

（2）由题意得，

当，解得或（舍去），

由（1）知，                        ……………………………………14分

即，解之得.

所以的范围是．………………………………………………………16分