Question

已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.

（1）求圆C的方程；

（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；

（3）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

 （1）由椭圆E：，得：，，，

又圆C过原点，所以圆C的方程为．………………………………4分

（2）由题意，得，代入，得，

所以的斜率为，的方程为，  …………………8分

（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）

所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．

故直线被圆C截得弦长为7．…………………………………………………………10分

（3）设，，则由，得，

整理得①，…………………………12分

又在圆C：上，所以②，

②代入①得，        …………………………14分

又由为圆C 上任意一点可知，解得．

所以在平面上存在一点P，其坐标为．            …………………………16分