Question

 设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若直线l： x＝与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．

　（1）求双曲线C的离心率e的值；

　（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为，求双曲线c的方程．

Answer

 解析：（1）双曲线C的右准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：．

∴ 两交点坐标为 ，、，．

∵ △PFQ为等边三角形，则有（如图）．

∴ ，即．

解得 ，c＝2a．∴ ．……………………………………6分

（2）由（1）得双曲线C的方程为把．                           

把代入得．

依题意 ∴ ，且．

∴ 双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

∵ ． ∴ ．

整理得 ．

∴ 或．

∴ 双曲线C的方程为：或．…………………12分