Question

 设，．

   （1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；

（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．

Answer

 （1）当时，，，，，

所以曲线在处的切线方程为；        

（2）存在，使得成立，等价于：，

考察，，

2

—

+

递减

极小值

递增

1

由上表可知：，

，

所以满足条件的最大整数；                          

（3）对任意的，都有成立

等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，

        由（2）知，在区间上，的最大值为。

，下证当时，在区间上，函数恒成立。

当且时，，

记，，   。

当，；当，

，

所以函数在区间上递减，在区间上递增，

，即， 所以当且时，成立，

即对任意，都有。              

（3）另【解析】
当时，恒成立

等价于恒成立，记，，   。

记，，由于，,   所以在上递减，当时，，时，，即函数在区间上递增，在区间上递减，所以，所以。