已知数列
的前
项和为
，对一切正整数，点
都在函数
的图象上，且在点处的切线的斜率为
。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若
，求数列
的前项和
；
（Ⅲ）设
，
，等差数列
的任一项
，其中
是
中最小的数，
，求数列的通项
公式。
椭圆
与直线
相交于
、
两点，且
（
为坐标原点）。
（Ⅰ）求证：
等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率
时，求椭圆长轴长的取值范围。
已知函数
（Ⅰ）当
时，
使不等式
，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若在区间
上，函数
的图象恒在直线
的下方，求实数
的取值范围。
如图，在三棱柱
中，所有的棱长都为2，
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）当三棱柱的体积最大时，求平面
与平面
所成的锐角的
余弦值。
某甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子；某乙也有一个放有3
个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子。
（Ⅰ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一个球，直到取到红球为
止，求甲取球次数
的数学期望；
（Ⅱ）若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时为
乙胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由。
在
中，
分别为角
的对边，且满足
。
（Ⅰ）求角
的值；
（Ⅱ）若
，设角
的大小为
的周长为
，求
的最大值。
