Question

 本题满分12分）

设f(x) 是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x)•f(y)且f(0)=1,数列{a_n}

满足a₁=4，f(log₃f(-1-log₃=1 (n∈N^*)；

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设S_n是数列{a_n}的前n项和, 试比较S_n与6n²-2的大小。

Answer

 (Ⅰ)由题设知f(log3∙f(-1-log3=1 (n∈N*)可化为

,∵y=f(x)是定义在R上的单调减函数，

∴即

∴数列是以为首项，1为公差的等差数列。∴log3即an=.--------------------------------------------------6分     

(Ⅱ)Sn=a1+a2+a3+···+an =4(1+31+32+···+3n-1)=2(3n-1)

当n=1时有Sn=6n2-2=4; 当n=2时有Sn=16<6n2-2=22; 当n=3时有Sn=6n2-2=52;

当n=4时有Sn=160>6n2-2=94; 当n=5时有Sn=484>6n2-2=148.

由此猜想当n≥4时, 有Sn>6n2-23n-1>n2.下面用数学归纳法证明：

①当n=1时显然成立；

②假设当n=k(k≥4,k∈N*)时, 有3k-1>k2; 当n=k+1时，有3k=3·3k-1>3k2,

∵k≥4∴k(k-1)≥12, ∴3k2-(k-1)2=2k(k-1)-1>0即3k2>(k+1)2, ∴3k>3k2>(k+1)2, ∴3k>(k+1)2,因此当n=k+1时原式成立.

由①②可知当n≥4时有3n-1>n2即Sn>6n2-2.

综上可知当n=1,3时,有Sn=6n2-2；当n=2时,有Sn<6n2-2；当n≥4时,有Sn>6n2-2。………………12分