Question

如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形，，是中点，截面交于．

    （1）求与平面所成角的大小；

    （2）求证：平面⊥平面；                         

    （3）求二面角的大小．

Answer

 过P点作POAD于O，△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，…………………1分

    又因为平面PAD⊥平面ABCD，

    所以PO⊥平面ABCD，…………2分

    BO为PB在平面ABCD上的射影，   

    所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角……………3分

    由已知△ABD为等边三角形，所以PO=BO=，

    所以PB与平面ABCD所成的角为45°.…………4分

   （2）△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB，……………………… 5分

    又，PA=AB=2，N为PB中点，所以AN⊥PB，…………………………………… 6分

    所以PB⊥平面ADMN.又PB平面PBC所以平面PBC⊥平面ADMN……………… 8分

   （3）连结ON，因为PB⊥平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影，

    因为AD⊥PO，所以AD⊥NO，…………………………………………………… 9分

    故∠PON为所求二面角的平面角.………………………………………………… 10分

    因为△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以∠PON=45°，

    即所求二面角的大小为45°…………………………………………………………12分

解法二：（1）同解法一

（2）因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥BO，△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，

以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，……………………………………5分

由已知O（0，0，0），B（0，，0，），P（0，0，），A（1，0，0），D（－1，0，0），N（0，），所以，……… 6分

所以，…………… 7分

所以AD⊥PB，AN⊥PB，所以PB⊥平面ADMN，

又PB平面PBC所以平面PBC⊥平面ADMN…………………… 8分

（3）因为AD⊥PB，AD⊥BO，所以AD⊥平面POB， 所以ON⊥AD，

又PO⊥AD，所以故∠PON为所求二面角的平面角. …………………………10分

因为

设所求二面角为，则，…………………… 11分

所以=45°，即所求二面角的大小为45°.………………………………………12分