Question

小杨从商店买来一个电热毯，电热毯有两档，使用高档时单位时间发热量为使用低档时单位时间发热量的两倍．电热毯内部电路结构是什么样的呢？
（1）小杨的猜想如图所示．R₁和R₂为电阻丝的电阻，S为开关．S与a连通时电热毯处于高档，S与b连通时电热毯处于低档．你认为小杨的猜想成立吗？如果你认为小杨的猜想不成立，请说明理由．如果你认为小杨的猜想成立，试找出R₁和R₂的大小关系．
（2）在讨论中，小王同学提出了另外一种猜想，大家一致认为小王的猜想合理，小王猜想的电路也有两个电阻：R₃和R₄．请你画出小王猜想的电路图，并且找出R₃和R₄的大小关系（写出分析过程）．

Answer

（1）小杨的猜想中，S与a连通时处于高档，此时R1接通，R2断开，则此时R1发热提供能量；而当S与b接通时，R1断开，R2提供能量，则可知两电阻均应为发热电阻丝，则由电热毯的结构及原理可知这种设计的不合理性；
（2）由功率公式P=可得，当电阻增加一倍时，电热毯的发热量即降为一半，故可猜想实际电热毯中只有一根电热丝，另一电阻与电热丝相串联，电阻与开关并联，则通过控制开关可使电热丝发热量达到设计要求．
【解析】
（1）小杨的猜想中，两根均应为电热丝，在S接在不同位置时，两电热丝分别发热；因电热毯面积较大，并且要求电热毯的各部分均应发热，故需要将电热丝分布在整个毯内，故需要的电热丝的长度增大，电热毯的成本将增大，同时，在使用时，两电阻丝有可能发生接触现象，故绝缘性能要求增高，同样增大了成本，故小杨的猜想不符合实际情况；
（2）小王的猜想中应只使用一根电热丝，另一电阻与电热丝串联，并且用一开关与该电阻并联；当使用高档时，开关闭合，电热丝直接接在电源两端；
当使用低档时，开关断开，两电阻串联，则电热丝两端的电压减小，功率减小；则可实现设计要求；
故原理图如图：

由P=可得，最大功率P最大=，
最小功率P最小=，
由题意可知：=；
故可得：R3+R4=2R3，
即R4=R3；
R3与R4两电阻的阻值相等．