Question

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点(点P不与点B、D重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③仅有当∠DAP＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤PD＝EC．其中有正确有(　　)个．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer

D

【解析】

过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP=EC，得出⑤正确，即可得出结论．

过P作PG⊥AB于点G，如图所示：

∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，

∴GP=EP，

在△GPB中，∠GBP=45°，

∴∠GPB=45°，

∴GB=GP，

同理：PE=BE，

∵AB=BC=GF，

∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，

∴AG=PF，

在△AGP和△FPE中，

，

∴△AGP≌△FPE（SAS），

∴AP=EF，①正确，∠PFE=∠GAP，

∴∠PFE=∠BAP，④正确；

延长AP到EF上于一点H，

∴∠PAG=∠PFH，

∵∠APG=∠FPH，

∴∠PHF=∠PGA=90°，

∴AP⊥EF，②正确，

∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45°，

∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD是等腰三角形，

除此之外，△APD不是等腰三角形，故③正确．

∵GF∥BC，

∴∠DPF=∠DBC，

又∵∠DPF=∠DBC=45°，

∴∠PDF=∠DPF=45°，

∴PF=EC，

∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，

∴DP=EC，

即PD=EC，⑤正确．

∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．

故选D．