Question

如图所示，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α, 以OC为边作等边三角形OCD，连接AD.

（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer

（1）△AOD是直角三角形；（2）当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．

【解析】

试题（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；

（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．

试题解析：（1）∵△OCD是等边三角形，

∴OC=CD，

而△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，

∵∠ACB=∠OCD=60°，

∴∠BCO=∠ACD，

在△BOC与△ADC中，

∵，

∴△BOC≌△ADC，

∴∠BOC=∠ADC，

而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，

∴∠ADO=150°-60°=90°，

∴△ADO是直角三角形；

（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，

则a+b=60°，b+c=180°-110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，

∴b-d=10°，

∴（60°-a）-d=10°，

∴a+d=50°，

即∠CAO=50°，

①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，

∴190°-α=α-60°，

∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，

∴α-60°=50°，

∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，

∴190°-α=50°，

∴α=140°．

所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．