Question

在学习完第十二章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1，，，，，垂足分别为，，，，求的长.”

（1）请你也独立完成这道题：

（2）待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：

在课本原题其它条件不变的前提下，将所在直线旋转到的外部（如图2），请你猜想，，三者之间的数量关系，直接写出结论：_______.（不需证明）

（3）如图3，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点在同一条直线上，并且有∠BEC=∠ADC=∠BCA=，其中为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由：

Answer

（1）；（2）；（3）、（2）中的猜想还成立，证明见解析.

【解析】

（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答．

（2）继续利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答．

（3）还是利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答．

（1）∵，，

∴，

∴．

∵，

∴．

在和中，

，

∴，

∴，．

∵，，

∴；

（2），

证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E＝∠ADC＝90°，

∴∠EBC＋∠BCE＝90°．

∵∠BCE＋∠ACD＝90°，

∴∠EBC＝∠DCA．

在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS），

∴BE＝DC，CE＝AD，

∴DE＝CE＋DE＝AD＋BE；

（3）、（2）中的猜想还成立，

证明：∵，，，

∴

在和中，

，

∴，

∴，，

∴．