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已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,AD为△ABC的高,点E在边AC上,B...

已知:如图,ABC中,∠ABC=45°ADABC的高,点E在边AC上,BEAD交于点F,且DF=DC.

求证;(1BF=AC;

2BEAC.

 

(1)证明见详解;(2)证明见详解. 【解析】 (1)由∠ABC=45°,AD为△ABC的高,得到△ABD是等腰直角三角形,则AD=BD,然后证明△ACD≌△BFD,即可得到BF=AC; (2)由(1)知∠FBD=∠CAD,由对顶角相等,则∠BFD=∠AFE,即可得到∠BDF=∠AEF,即可得到BE⊥AC. 证明:(1)∵AD为△ABC的高, ∴∠ADB=∠ADC=90°, ∵∠ABC=45°, ∴△ABD是等腰直角三角形, ∴BD=AD, ∵DF=DC, ∴△BDF≌△AEF(SAS), ∴BF=AC; (2)由(1)知△BDF≌△AEF, ∴∠FBD=∠CAD, ∵∠BFD=∠AFE, ∵∠BDF+∠FBD+∠BFD=180°,∠AEF+∠CAD+∠AFE=180°, ∴∠BDF=∠AEF=90°, ∴BE⊥AC.
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