Question

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD为△ABC的高，点E在边AC上，BE与AD交于点F，且DF=DC.

求证；（1）BF=AC;

（2）BEAC.

Answer

（1）证明见详解；（2）证明见详解.

【解析】

（1）由∠ABC=45°，AD为△ABC的高，得到△ABD是等腰直角三角形，则AD=BD，然后证明△ACD≌△BFD，即可得到BF=AC；

（2）由（1）知∠FBD=∠CAD，由对顶角相等，则∠BFD=∠AFE，即可得到∠BDF=∠AEF，即可得到BE⊥AC.

证明：（1）∵AD为△ABC的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵∠ABC=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴BD=AD，

∵DF=DC，

∴△BDF≌△AEF（SAS），

∴BF=AC；

（2）由（1）知△BDF≌△AEF，

∴∠FBD=∠CAD，

∵∠BFD=∠AFE，

∵∠BDF+∠FBD+∠BFD=180°，∠AEF+∠CAD+∠AFE=180°，

∴∠BDF=∠AEF=90°，

∴BE⊥AC.