Question

已知中，，，，以三边分别向外作三个正方形，连接各点，得到六边形DEFGHI，则六边形DEFGHI的面积为________．

Answer

74

【解析】

根据勾股定理计算出AC=4，再利用四边形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形，根据正方形的性质得到∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°，BD=BA，AM=AC，CBN=CG，可计算出S正方形ABDE=52=25，S正方形ACHM=42=16，S正方形BCGF=32=9，利用周角的定义可计算出∠DBF+∠ABC=180°，∠MAE+∠BAC=180°，∠ACB+∠HCG=180°，根据全等三角形的性质和等量代换可得S△DBF=S△ABC，S△MAE=S△ABC，S△HCG=S△ABC，然后把六边形DEMHGF内的各部分的面积相加即可．

【解析】
如图，

在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，
∴

∵四边形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形，
∴∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°，BD=BA，AM=AC，CBN=CG，S正方形ABDE=42=16，S正方形ACHM=52=25，S正方形BCGF=32=9，
∴∠DBF+∠ABC=180°，∠MAE+∠BAC=180°，∠ACB+∠HCG=180°，
过I作IM⊥DA交DA的延长线于M，
∴∠M=∠ABC=90°，
∵∠DAI+∠MAI=∠DAI+∠BAC=180°，
∴∠IAM=∠BAC，
在△AMI与△BAC中，

∴△AMI≌△ABC，
∴AB=AM，
∴AD=AM，
∴S△AMI=S△ABC=S△ADI，
同理S△BEF=S△ABC，S△CHG=S△ABC，
∴，
∴六边形DEMHGF的面积=25+16+9+4×6=74．
故答案为：74．