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已知中,,,,以三边分别向外作三个正方形,连接各点,得到六边形DEFGHI,则六...

已知中,,以三边分别向外作三个正方形,连接各点,得到六边形DEFGHI,则六边形DEFGHI的面积为________

 

74 【解析】 根据勾股定理计算出AC=4,再利用四边形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形,根据正方形的性质得到∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°,BD=BA,AM=AC,CBN=CG,可计算出S正方形ABDE=52=25,S正方形ACHM=42=16,S正方形BCGF=32=9,利用周角的定义可计算出∠DBF+∠ABC=180°,∠MAE+∠BAC=180°,∠ACB+∠HCG=180°,根据全等三角形的性质和等量代换可得S△DBF=S△ABC,S△MAE=S△ABC,S△HCG=S△ABC,然后把六边形DEMHGF内的各部分的面积相加即可. 【解析】 如图, 在Rt△ABC中,∵AB=4,BC=3, ∴ ∵四边形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形, ∴∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°,BD=BA,AM=AC,CBN=CG,S正方形ABDE=42=16,S正方形ACHM=52=25,S正方形BCGF=32=9, ∴∠DBF+∠ABC=180°,∠MAE+∠BAC=180°,∠ACB+∠HCG=180°, 过I作IM⊥DA交DA的延长线于M, ∴∠M=∠ABC=90°, ∵∠DAI+∠MAI=∠DAI+∠BAC=180°, ∴∠IAM=∠BAC, 在△AMI与△BAC中, ∴△AMI≌△ABC, ∴AB=AM, ∴AD=AM, ∴S△AMI=S△ABC=S△ADI, 同理S△BEF=S△ABC,S△CHG=S△ABC, ∴, ∴六边形DEMHGF的面积=25+16+9+4×6=74. 故答案为:74.
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