Question

定义：长宽比为：1(n为正整数)的矩形称为矩形.下面我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示.

操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH.

操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF、BE上，折痕为CD.则四边形ABCD为矩形.

(1)证明：四边形ABCD为矩形.

(2)点M是边AB上一动点.

①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN.求tan∠OMN的值.

②连接CM，作BR⊥CM，垂足为R.若AB＝，求DR的最小值.

Answer

(1)证明见解析；(2)①tan∠OMN＝；②DR最小＝1

【解析】

(1)先证出∠DAG＝45°，进而判断出四边形ABCD是矩形，再求出AB：AD的值，即可得出结论；

(2)①作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q，证出四边形BQOP是矩形.得出∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB.由平行线得出，证出OP＝BC，OQ＝AB，证明Rt△QON∽Rt△POM，得出，求出tan∠OMN＝＝即可；

②由矩形的性质得出BC＝AD＝1，证出点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，得出CI＝BC＝，得出DR最小＝﹣＝1即可.

(1)证明：设正方形ABEF的边长为a，

∵AE是正方形ABEF的对角线，

∴∠DAG＝45°，

由折叠性质可知AG＝AB＝a，∠FDC＝∠ADC＝90°，

则四边形ABCD为矩形，

∴△ADG是等腰直角三角形，

∴AD＝DG＝，

∴AB：AD＝a：＝：1，

∴四边形ABCD为矩形；

(2)【解析】
①作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q，如图b所示：

∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°，

∴四边形BQOP是矩形.

∴∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB.

∴ ,

∵O为AC中点，

∴OP＝BC，OQ＝AB，

∵∠MON＝90°，

∴∠QON＝∠POM，

∴Rt△QON∽Rt△POM，

∴,

∴tan∠OMN＝＝；

②如图c所示：

∵四边形ABCD为矩形，CD＝AB＝，

∴BC＝AD＝1，

∵BR⊥CM，

∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，

∴CI＝BC＝，

∴DR最小＝﹣＝﹣＝﹣＝1.