Question

如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，.过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点.下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确的结论有（    ）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

Answer

A

【解析】

①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP＝∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；

②先求出∠APB＝∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB＝BF，AP＝PF；

③根据直角的关系求出∠AHP＝∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝AH；

④求出∠ADG＝∠DAG＝45°，再根据等角对等边可得DG＝AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH＝GF，然后根据FG=GH,AF=即可得到.

【解析】
①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，

∴∠ABP＝∠ABC，

∠CAP＝（90°＋∠ABC）＝45°＋∠ABC，

在△ABP中，∠APB＝180°−∠BAP−∠ABP，

＝180°−（45°＋∠ABC＋90°−∠ABC）−∠ABC，

＝180°−45°−∠ABC−90°＋∠ABC−∠ABC，

＝45°，故本小题正确；

②∵PF⊥AD，∠APB＝45°（已证），

∴∠APB＝∠FPB＝45°，

∵∵PB为∠ABC的角平分线，

∴∠ABP＝∠FBP，

在△ABP和△FBP中，

，

∴△ABP≌△FBP（ASA），

∴AB＝BF，AP＝PF；

∴垂直平分，故②正确；

③∵∠ACB＝90°，PF⊥AD，

∴∠FDP＋∠HAP＝90°，∠AHP＋∠HAP＝90°，

∴∠AHP＝∠FDP，

∵PF⊥AD，

∴∠APH＝∠FPD＝90°，

在△AHP与△FDP中，

，

∴△AHP≌△FDP（AAS），

∴DF＝AH，

∵BD＝DF＋BF，

∴BD＝AH＋AB，

∴BD−AH＝AB，故③小题正确；

④∵AP＝PF，PF⊥AD，

∴∠PAF＝45°，

∴∠ADG＝∠DAG＝45°，

∴DG＝AG，

∵∠PAF＝45°，AG⊥DH，

∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，

∴DG＝AG，GH＝GF，

∴DG＝GH＋AF，

∴FG=GH,AF=

故.

综上所述①②③④正确．

故选：A．