Question

如图，已知在正方形ABCD中、点E是BC边上一点，F为AB延长线上一点，且BE＝BF，连接AE、EF、CF．

（1）若∠BAE＝18°，求∠EFC的度数；

（2）求证：AE⊥CF．

Answer

（1）27°；（2）证明见解析.

【解析】

（1）依据△ABE≌△CBF，即可得出BAE=∠BCF=18°，再根据正方形ABCD中，∠ABC=90°，进而得出∠BEF=45°，即可得到∠EFC=∠BEF-∠BCF=45°-18°=27°；
（2）延长AE交CF于G，依据∠BCF+∠AFG=90°，∠BAE=∠BCF，即可得出∠AGF=90°，即AG⊥CF，进而得到AE⊥CF．

【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBF＝90°，

∵BE＝BF，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴∠BAE＝∠BCF＝18°，

又∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，

∴∠BEF＝∠BFE＝45°，

∴∠EFC＝∠BEF﹣∠BCF＝45°﹣18°＝27°；

（2）如图，延长AE交CF于G，

∵∠BCF+∠AFG＝90°，∠BAE＝∠BCF，

∴∠BAE+∠AFG＝90°，

∴∠AGF＝90°，即AG⊥CF，

∴AE⊥CF．