Question

如图①，平面内的两条直线点在直线上，点在直线上，过两点分别作的垂线，垂足分别为，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记为或特别地，线段在直线上的正投影就是线段．请依据上述定义解决如下问题：

（1）如图①，若，则　  　．

（2）如图②，在矩形中，，，则　   　．

（3）如图③，在矩形中，点在边上（），连接、，

①若，求矩形的面积．

②如图④，点在延长线上，连按，若，，，求．

Answer

(1)5；(2) ；(3) ①；②.

【解析】

（1）由题意即可得出结果；

（2）过点作于，则，由四边形是矩形， ，，得出，，由勾股定理得出，证明，得出，求出，即可得出结果；

（3）①过点作于，由，求出，证明，求出，则；

②过点作于，过点作于，由，，得出，，由，求出，再由勾股定理得出，，证明，求出，再由勾股定理得出，即可得出结果．

【解析】
（1）∵，

∴，

故答案为：5；

（2） 过点作于，则，如图②所示：

∵四边形是矩形， ，，

∴，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

即：，

∴，

∴，

故答案为：；

（3）①过点作于，如图③所示：

则四边形是矩形、四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即：，

∴，

∴，

∴；

②过点作于，过点作于，如图④所示：

则四边形是矩形、四边形是矩形，

∴，

∵，，

∴，，

由1得：，

∴，

即：，

解得：或，

∵，

∴，不合题意舍去，

∴，

，

，

，

，

∵，

∴，

∴，

即：，

解得：，

∴，

∴．