Question

如图，，，，，直线与交于点，交于点，连接.

(1)求证：；

(2)求证：；

(3)请判断与的大小关系并说明理由.

Answer

（1）见详解；（2）见详解；（3）∠CFE=∠CAB；理由见详解.

【解析】

（1）根据垂直的定义得到∠ACB=∠DCE=90°，由角的和差得到∠BCD=∠ACE，即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠CBD=∠CAE，根据对顶角的性质得到∠BGC=∠AGF，由三角形的内角和即可得到结论；

（3）过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，根据全等三角形的性质得到AE=BD，S△ACE=S△BCD，根据三角形的面积公式得到CH=CI，于是得到CF平分∠BFH，推出△ABC是等腰直角三角形，即可得到结论．

证明：（1）∵BC⊥CA，DC⊥CE，

∴∠ACB=∠DCE=90°，

∵∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD与△ACE中，

，

∴△ACE≌△BCD；

（2）∵△BCD≌△ACE，

∴∠CBD=∠CAE，

∵∠BGC=∠AGF，

∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BF⊥AE；

（3）∠CFE=∠CAB；

理由如下：过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，

∵△BCD≌△ACE，

∴AE=BD，S△ACE=S△BCD，

即，

∴CH=CI，

∴CF平分∠BFH，

∵BF⊥AE，

∴∠BFH=90°，∠CFE=45°，

∵BC⊥CA，BC=CA，

∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，

∴∠CFE=∠CAB．