Question

如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．

（1）求证：AB=AD；

（2）求证：CD平分∠ACE．

（3）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠BDC=∠BAC，证明见解析

【解析】

证明：（1）∵AD∥BE

∴∠2= ∠5

AD平分∠GBE

∴∠2= ∠1

∴∠1= ∠5 ,AB= AD

（2）  ∵ AB= AD，

∴AB= AC= AD

∴∠3= ∠ADC

AD∥BE，

∴∠ADC= ∠4

∴∠3= ∠4

∴CD平分∠ACE；

（3）∠BDC= ∠BAC；

∵证明：BD平分∠ABE

∴∠2= ∠1 = ∠ABC

根据三角形外角性质得：

∠1+ ∠2+ ∠BAC=∠4 +∠3①

①式两边除以2得∠BAC=∠4-∠2

而由∠2+ ∠6 =∠4 得出∠6 =∠4 -∠2 即∠BDC=∠4 -∠2

∠BDC=∠BAC.